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モンテカルロ・シミュレーションの計算の概要

モンテカルロ・シミュレーションは、乱数を発生することによって、あるべき真の値を求めていくというものです。

ここで、よくモンテカルロ・シミュレーションの例として用いられる円周率(π)の算定を例にご説明します。

1辺の長さが1の正方形とそれに内接する4分の1円(扇形)がある場合、

正方形の面積 : 扇形の面積= 1: π/4
となります。

円周率

この正方形のなかに、ランダムに n 個の点を落としたとき、r個の点が円内に落ちたとすれば、
1: π/4 = n : r  ∴ π = 4 * r / n

となります。

円周率

モンテカルロ・シミュレーションは、nの数を増やしていくことで、『π = 4 * r/n』の理論値を求めていく方法です。

エクセルを使って、モンテカルロ・シミュレーションを行った結果は、以下のようになりました。

モンテカルロ・シミュレーション:円周率

モンテカルロ・シミュレーションのオプション評価での利用

モンテカルロ・シミュレーションによって、多数の試行ができることは前述の通りですが、 株価の推移はランダム・ウォークといわれるブラウン運動に従うとされています。

このブラウン運動の確率分布は正規分布になりますが、この現象(株価)を作成する際に利用するものが、 モンテカルロ・シミュレーションです。

標準正規分布は下図のようになりますが、これをモンテカルロ・シミュレーションで作成すると 試行回数によって以下の近似することができます。

標準正規分布

標準正規分布

モンテカルロ:試行回数100回

モンテカルロ:100回

モンテカルロ:試行回数10,000回

モンテカルロ:10,000回

モンテカルロ:試行回数100,000回

モンテカルロ:100,000回

モンテカルロ・シミュレーションにおける計算例

以下のような単純な株式コール・オプションであった場合、 コール・オプションの価値はモンテカルロ・シミュレーションを使用すると以下のように算定されます。

モンテカルロ・シミュレーション

試行回数を増加させることよって、評価額はブラックショールズ・モデルでの値(「真の値」)に収束していきます。
ここで、エクセルの乱数を利用しましたが、エクセルの乱数はそれほど精度が高くないため、 試行回数が5,000回と10,000回を比較すると、モンテカルロ・シミュレーションの試行回数が少ない方が、 真の値に近づいているという矛盾が生じています。
このことからも、乱数の精度についても、モンテカルロ・シミュレーションの計算の正確性に大きく影響を与えることが分かります。








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